Вернуться к содержанию учебника
Найдите все значения \(a\), при которых один из корней уравнения
\(x^2-3{,}75x+a^3=0\)
является квадратом другого.
Вспомните:
\(x^2-3{,}75x+a^3=0\)
Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).
\(x_2 = x_1^2\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(\begin{cases}x_1+x_2=3{,}75,\\ x_1x_2=a^3\end{cases}\)
\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1x_1^2=a^3\end{cases}\)
\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1^3=a^3\end{cases}\)
\(\begin{cases}x_1+x_1^2=3{,}75,\\ x_1=a\end{cases}\)
\(\begin{cases}a + a^2=3{,}75,\\ x_1=a\end{cases}\)
\(a+a^2=3{,}75\)
\(a^2+a-3{,}75=0\)
\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot(-3,75)=\)
\(=1+15=16 > 0\) - два действительных корня.
\(\sqrt{16} = 4\)
\(a_{1} = \frac{-1 + 4}{2\cdot1} = \frac{3}{2} = 1,5\).
\(a_{2} = \frac{-1 - 4}{2\cdot1} = \frac{-5}{2} = -2,5\).
\(a_1=1{,}5\)
\(a_2=-2{,}5\)
Ответ: при \(a=1{,}5\) или \(a=-2{,}5\).
Пояснения:
1. Формулы Виета.
Для квадратного уравнения
\(x^2+px+q=0\) выполняются формулы:
\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]
В нашем случае:
\[x_1+x_2=3{,}75,\qquad x_1x_2=a^3.\]
2. Условие задачи.
По условию один корень является квадратом другого. Пусть \(x_2 = x_1^2\).
3. Решение системы уравнений.
Решая систему уравнений методом подстановки находим два возможные значения:
\(a=1{,}5\) и \(a=-2{,}5\).
Вернуться к содержанию учебника