Упражнение 413 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 125

а) \(\begin{cases} 2x + 2y + 7 = 0,\\ 10x - 4y + 14 = 0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + 2y = -7,\\ 10x - 4y = -14; \end{cases}\)

\(\frac{2}{10} = \frac15\),    \(\frac{2}{-4} = -\frac12\).

\(\frac{2}{10} \ne \frac{2}{-4}, \Rightarrow\)  система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

б) \(\begin{cases} x + 3y + 6 = 0,\\ 10x + 30y + 60 = 0; \end{cases}\)

\(\begin{cases} x + 3y = -6,\\ 10x + 30y =-60; \end{cases}\)

\(\frac{1}{10}\),    \(\frac{3}{10} = \frac{1}{10}\),    \(\frac{-6}{-60} = \frac{1}{10}\).

\(\frac{1}{10} = \frac{3}{10} = \frac{-6}{-60},  \Rightarrow\)  система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) \(\begin{cases} 8x - 4y - 15 = 0,\\ 10x - 5y - 28 = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8x - 4y = 15,\\ 10x - 5y = 28 \end{cases}\)

\(\frac{8}{10} = \frac45\),    \(\frac{-4}{-5} = \frac45\),    \(\frac{15}{28}\).

\(\frac{8}{10} = \frac{-4}{-5} \ne \frac{15}{28},  \Rightarrow\)  система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пояснения:

Правила, которые используются:

В каждом уравнении системы свободный член переносим в правую сторону, изменив его знак на противоположный, и рассматриваем систему вида

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]

1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).

3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).