Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что при \(a>-1\) выражение
\[ \left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}\right):\frac{4a}{5a-5} \]принимает положительные значения при всех допустимых значениях \(a\).
Вспомните:
\(a > -1\).
Доказать, что при всех допустимых \(a\)
\[ \left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}\right):\frac{4a}{5a-5} > 0 \]
ОДЗ:
\( a-1\ne 0, \Rightarrow a\ne 1\),
\(a+1\ne 0, \Rightarrow a\ne -1\),
\(\frac{4a}{5a-5}\ne 0, \Rightarrow a\ne 0 \).
\( \left(\frac{a+1}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash a+1}} -\frac{a-1}{a+1} ^{\color{blue}{\backslash a-1}} \right):\frac{4a}{5a-5} > 0\)
\(\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{5a-5}{4a} > 0\)
\(\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{5a-5}{4a} > 0\)
\(\frac{\cancel{a^2}+2a+\cancel1-\cancel{a^2}+2a-\cancel1}{\cancel{(a-1)}(a+1)}\cdot\frac{5\cancel{(a-1)}}{4a} > 0\)
\(\frac{\cancel{4a}}{(a+1)}\cdot\frac{5}{\cancel{4a}} > 0\)
\(\frac{5}{a+1} > 0\) - верно при всех допустимых значениях \(a > -1\).
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Правила и приёмы, которые использовались:
1. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:
\(\frac ab : \frac cd = \frac ab \cdot \frac dc\).
2. Вычитание дробей с разными знаменателями:
\[ \frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-rq}{qs}. \]
3. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
4. Для знака дроби важно, чтобы знаменатель не был равен нулю; при \(a>-1\) число \(a+1\) положительно.
Разбор по шагам:
Сначала выписали область допустимых значений: нельзя делить на ноль, и нельзя делить на дробь, равную нулю, поэтому запрещены
\(a=1\), \(a=-1\), \(a=0\).
Далее привели выражение в скобках к общему знаменателю \((a-1)(a+1)\) и получили числитель
\((a+1)^2-(a-1)^2\),
в котором раскрыли скобки, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
После этого заменили деление на \(\dfrac{4a}{5a-5}\) умножением на обратную дробь \(\dfrac{5a-5}{4a}=\dfrac{5(a-1)}{4a}\) и сократили одинаковые множители \(4a\) и \((a-1)\) (это допустимо на ОДЗ).
В итоге выражение свелось к \(\dfrac{5}{a+1}\). При условии \(a>-1\) знаменатель полученной дроби \(a+1\) положителен, значит вся дробь положительна при всех допустимых \(a\).
Вернуться к содержанию учебника