Вернуться к содержанию учебника
Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными
\(3x - 2y = 1\).
Подберите второе уравнение так, чтобы система:
а) имела единственное решение;
б) не имела решений;
в) имела бесчисленное множество решений.
Вспомните:
\(3x - 2y = 1\)
а) Имеет единственное решение система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 2x + 3y = 5, \end{cases}\)
так как \(\frac32 \ne -\frac23\).
б) Не имеет решений система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 6x - 4y = 3 \end{cases}\)
так как \(\frac36 = \frac12\), \(\frac{-2}{-4} = \frac12\), \(\frac13\),
и \(\frac36 = \frac{-2}{-4} \ne \frac13\).
в) Имеет бесчисленное множество решений система
\(\begin{cases} 3x - 2y = 1,\\ 6x - 4y = 2 \end{cases}\)
так как \(\frac36 = \frac12\), \(\frac{-2}{-4} = \frac12\), \(\frac13\),
и \(\frac36 = \frac{-2}{-4} = \frac12\).
Пояснения:
Правила, которые используются:
Рассматриваем систему вида
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]
1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).
2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).
3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и
\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).
Вернуться к содержанию учебника