Упражнение 412 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 125

а) \(\begin{cases}2x+3y=4,\\3x+2y=2\end{cases}\)

\(\frac23 \ne \frac32, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

б) \(\begin{cases}2x+3y=4,\\4x+6y=2\end{cases}\)

\(\frac24 = \frac12\),   \(\frac36 = \frac12\),   \(\frac42=2\).

\(\frac24 = \frac36 \ne \frac42, \Rightarrow\) система не имеет решений.

в) \(\begin{cases}3x-6y=2,\\-x+2y=-1\end{cases}\)

\(\frac{3}{-1} = -3\),   \(\frac{-6}{2} = -3\),   \(\frac{2}{-1} =-2\).

\(\frac{3}{-1} = \frac{-6}{2} \ne \frac{2}{-1}, \Rightarrow\) система не имеет решений.

г) \(\begin{cases}2x=5,\\3x+2y=2\end{cases}\)

\(\frac23 \ne \frac02, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

д) \(\begin{cases}3y=4,\\4x+6y=1\end{cases}\)

\(\frac34 \ne \frac06, \Rightarrow\) система имеет единственное решение.

е) \(\begin{cases}3x+5y=-6,\\9x+15y=-18\end{cases}\)

\(\frac39 = \frac13\),   \(\frac{5}{15} = \frac13\),   \(\frac{-6}{-18} = \frac13\).

\(\frac39 = \frac{5}{15} = \frac{-6}{-18}\) - система имеет бесконечно много решений.

Пояснения:

Правила, которые используются:

Рассматриваем систему вида

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases} \]

1) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и \(\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\), то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

2) Если \(a_1b_2-a_2b_1= 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений нет (прямые параллельны).

3) Если \(a_1b_2-a_2b_1\ne 0\) и

\(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}= \dfrac{c_1}{c_2}\), то решений бесконечно много (прямые совпадают).