Упражнение 411 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 123

\(15\) мин = \(\frac14\) ч.

\( x > 0\)

Составим уравнение:

\( \frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}\)  \(/\times4x(x+2)\)

\(144(x + 2) - 144x = x(x+2)\)

\(\cancel{144x} + 288 - \cancel{144x} = x^2 + 2x\)

\(288 = x^2 + 2x\)

\(x^2 + 2x - 288 = 0\)

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1\cdot (-288) =\)

\(=4 + 1152 = 1156 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{1156} = 34. \)

\( x_1 = \frac{-2 + 34}{2} = 16,\)

\(x_2 = \frac{-2 - 34}{2} = -18 < 0 \) - не удовлетворяет условию.

1) \( 16\) (км/ч) - скорость первого велосипедиста.

2) \( 16 + 2 = 18 \) (км/ч) - скорость второго велосипедиста.

Ответ: \(16\) км/ч и \(18\) км/ч.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Формула пути:

\(\; s = vt \), откуда \(\; t = \dfrac{s}{v}\).

2. Если один участник начал движение позже, разность времени движения учитывается отдельно.

3. Квадратное уравнение вида

\(\; ax^2 + bx + c = 0 \;\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Подробное объяснение:

Так как велосипедисты встретились в середине пути, каждый проехал одинаковое расстояние — 36 км. Первый начал движение раньше, поэтому его время в пути больше на 15 минут (\(\frac14\) часа).

Составив уравнение на основе времени движения и скоростей, получили дробно-рациональное уравнение, домножив которое на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получили квадратное уравнение. Из двух корней подходит только положительный, так как скорость не может быть отрицательной, для которого нашли соответствующее значение скорости второго велосипедиста.