Упражнение 406 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 123

\(y = c\) и \(x^2 + y^2 = 9\)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = с \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + с^2 = 9, \\ y = с \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 = 9 - с^2, \\ y = с \end{cases} \)

а) Пересекаются:

\(9 - c^2 > 0\)

\(y = 9-c^2 \) - парабола ветви которой направлены вниз.

\(9-c^2 = 0\)

\(c^2 =9\)

\(c = \pm\sqrt9\)

\(с = \pm3\)

\(c \in (-3; 3)\)

Прямая и окружность пересекаются при \(c = 0,\; c = 1,\; c = -2\).

б) Не имеют общих точек:

\(9 - c^2 < 0\)

\(y = 9-c^2 \) - парабола ветви которой направлены вниз.

\(9-c^2 = 0\)

\(c^2 =9\)

\(с = \pm3\)

\(c\in(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\)

Прямая и окружность не имеют общих точек при \(c = 4,\; c = -5,\; c = 7\).

Касание окружности:

\(9 - c^2 = 0\)

\(c^2 = 9\)

\(c = \pm3\)

Прямая касается окружности при \(c = 3\) и \(c = -3\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Окружность \(x^2 + y^2 = r^2\) имеет радиус \(r\) и центр в начале координат.

2. Прямая \(y = c\) — горизонтальная прямая (параллельна оси \(x\)).

3. Число общих точек определяется числом решений уравнения \( x^2 = 9 - с^2\), полученного после подстановки.

Подробное объяснение:

После подстановки \(y=c\) получаем уравнение \(x^2 = 9 - c^2\).

Если правая часть положительна, уравнение имеет два решения по \(x\), значит прямая пересекает окружность в двух точках.

Если правая часть отрицательна, решений нет, значит прямая и окружность не имеют общих точек.

Если правая часть равна нулю, уравнение имеет одно решение, значит прямая касается окружности.