Вернуться к содержанию учебника
Сколько общих точек имеют окружность и прямая, заданные соответственно уравнениями:
а) \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4\) и \(y = -2\);
б) \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\) и \(x = 7\)?
Вспомните:
а) \((x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4\) и \(y = -2\)
\( \begin{cases} (x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 4,\\ y = -2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (x - 6)^2 + (-2 + 4)^2 = 4,\\ y = -2 \end{cases} \)
\((x - 6)^2 + (-2 + 4)^2 = 4\)
\((x - 6)^2 + 2^2 = 4\)
\((x - 6)^2 + 4 - 4 = 0\)
\((x - 6)^2 = 0\)
\(x - 6 = 0\)
\(x = 6\)
\((6;\,-2)\) - точка пересечения окружности и прямой.
Ответ: имеют одну общую точку.
б) \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\) и \(x = 7\)
\( \begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9,\\ x = 7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} (7 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9,\\ x = 7 \end{cases} \)
\((7 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 9\)
\(4^2 + (y - 2)^2 = 9\)
\(16 + (y - 2)^2 = 9\)
\((y - 2)^2 = 9 - 16\)
\((y - 2)^2 = -7\) - не имеет корней, значит.
Ответ: общих точек не имеют.
Пояснения:
Окружность \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) имеет центр \((a, b)\) и радиус \(r\).
Чтобы найти общие точки окружности и прямой, подставляют уравнение прямой в уравнение окружности.
Если после подстановки получается:
\(\;\;\)• одно решение — прямая касается окружности (1 общая точка);
\(\;\;\)• два решения — прямая пересекает окружность (2 общие точки);
\(\;\;\)• нет действительных решений — общих точек нет (0 точек).
Пояснение к пункту а).
Подставляем \(y=-2\) в окружность. Получаем \((x-6)^2=0\), то есть единственное значение \(x\). Значит, прямая касается окружности, и общая точка одна: \((6,-2)\).
Пояснение к пункту б).
Подставляем \(x=7\) в окружность. Получаем \((y-2)^2=-7\), а квадрат не может быть отрицательным. Значит, действительных решений нет, и общих точек у прямой и окружности нет.
Вернуться к содержанию учебника