Вернуться к содержанию учебника
Сколько общих точек имеют окружность и прямая:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 7,\\ y - 4x = 2; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ y + 4x = -5? \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (2x + 3)^2 = 9,\\ y = 2x + 3; \end{cases}\)
\(x^2 + (2x + 3)^2 = 9\)
\(x^2 + 4x^2 + 12x + 9 - 9=0\)
\(5x^2 + 12x = 0\)
\(x(5x + 12) = 0\)
\(x = 0\) или \(5x + 12 = 0\)
\(5x = -12\)
\(x = -\dfrac{12}{5}\)
\(x = -2,4\)
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 7,\\ y - 4x = 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (4x+2)^2 = 7,\\ y = 4x + 2 \end{cases}\)
\(x^2 + (4x + 2)^2 = 7\)
\(x^2 + 16x^2 + 16x + 4 - 7 = 0\)
\(17x^2 + 16x - 3 = 0\)
\(D = 16^2 - 4\cdot 17 \cdot (-3) =\)
\(=256 + 204 = 460 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
в) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 5,\\ y + 4x = -5 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (-4x-5)^2 = 5,\\ y = -4x -5 \end{cases}\)
\(x^2 + (-4x - 5)^2 = 5\)
\(x^2 + (4x + 5)^2 = 5\)
\(x^2 + 16x^2 + 40x + 25 - 5=0\)
\(17x^2 + 40x + 20 = 0\)
\(D = 40^2 - 4\cdot 17 \cdot 20 =\)
\(=1600 - 1360 = 240 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.
Ответ: окружность и прямая имеют 2 общие точки.
Пояснения:
Правило (окружность и прямая):
Чтобы узнать число общих точек окружности и прямой, подставляют уравнение прямой в уравнение окружности и получают квадратное уравнение.
Далее смотрят на дискриминант \(D\):
если \(D > 0\), то 2 общие точки;
если \(D = 0\), то 1 общая точка (касание);
если \(D < 0\), то общих точек нет.
Пояснение к а).
После подстановки получилось \(x(5x+12)=0\), то есть два различных значения \(x\). Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.
Пояснение к б).
После подстановки получено квадратное уравнение с дискриминантом \(460>0\), значит 2 решения по \(x\) и 2 точки пересечения.
Пояснение к в).
Аналогично, дискриминант \(240>0\), значит прямая пересекает окружность, и общих точек две.
Вернуться к содержанию учебника