Упражнение 404 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 123

\(x^2 + y^2 = 9\) и \(xy = -3\)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 9,\\ y = -\frac3x \end{cases} \)

\(x^2 + \left(-\dfrac{3}{x}\right)^2 = 9\)

\(x^2 + \dfrac{9}{x^2} = 9\)     \(/\times x^2\)

\(x^4 + 9 = 9x^2\)

\(x^4 - 9x^2 + 9 = 0\)

Пусть \(t = x^2 \ge 0\).

\(t^2 - 9t + 9 = 0\)

\(D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 =\)

\(=81 - 36 = 45 > 0\) - 2 корня.

\(t_1 = \dfrac{9 + \sqrt{45}}{2} > 0\), тогда \(x = \pm\sqrt{t_1}\).

\(t_2 = \dfrac{9 - \sqrt{45}}{2} > 0\), тогда \(x = \pm\sqrt{t_2}\).

Всего получается 4 различных значения \(x\), а значит и 4 точки пересечения.

Ответ: окружность и гипербола пересекаются и имеют 4 общие точки.

Пояснения:

Общие точки графиков находятся из системы их уравнений.

Решаем систему уравнений способом подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Если после подстановки получается уравнение, имеющее несколько действительных решений, то каждому значению одной переменной соответствует своя точка пересечения.