Упражнение 402 - ГДЗ по Алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк учебник. Страница 123

Пересекаются ли графики уравнений \(x - y = -7\) и \(x^2 + y^2 = 36\)? Найдите ответ графическим способом, а затем аналитическим.

Вспомните:

Что называют решением системы уравнений с двумя переменными, графический способ решения систем уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки при решении систем уравнений.
Координаты точки на координатной плоскости.
Уравнения с двумя переменными, их свойства.
Уравнение окружности, ее график.
Линейная функция, ее график.
Квадрат суммы двух выражений.
Подобные слагаемые.
Полные квадратные уравнения.

Графический способ.

\(\begin{cases} x - y = -7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x + 7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

1) \(y = x + 7\) - прямая.

\(x\)	\(0\)	\(-7\)
\(y\)	\(7\)	\(0\)

2) \(x^2 + y^2 = 36\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и \(r = 6\).

Ответ: графики пересекаются в двух точках.

Аналитический способ.

\(\begin{cases} x - y = -7, \\ x^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = x + 7, \\ x^2 + (x + 7)^2 = 36 \end{cases}\)

\(x^2 + (x + 7)^2 = 36\)

\(x^2 + x^2 + 14x + 49 - 36 = 0\)

\(2x^2 + 14x + 13 = 0\)

\(D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 13 =\)

\(=196 - 104 = 92 > 0\) - уравнение имеет 2 корня, значит, система имеет 2 решения и графики пересекаются в двух точках.

Ответ: графики пересекаются в двух точках.

Пояснения:

Графический способ:

Уравнение \(x^2 + y^2 = r^2\) задаёт окружность радиуса \(r\) с центром в начале координат.

Уравнение вида \(ax + by + c = 0\) задаёт прямую.

Аналитический способ:

Решения системы уравнений — это точки пересечения графиков соответствующих уравнений.

Из уравнений составляем систему и решаем ее методом подстановки. Получаем два решения, значит, графики пересекаются в двух точках.

Упражнение 402 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 123