Упражнение 409 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 123

\(\begin{cases} x + y = a + 1,\\ 3x - y = a - 1 \end{cases}\)  \((+)\)

\((x + 3x) + (y - y) = (a + a) + (1 - 1)\)

\(4x = 2a\)

\(x = \dfrac{a}{2}\)

\(\dfrac{a}{2} + y = a + 1\)

\(y = a + 1 - \dfrac{a}{2}\)

\(y = \dfrac{a}{2} + 1\)

Решение системы:

\(x = \dfrac{a}{2}\),    \(y = \dfrac{a}{2} + 1\).

1) \(x > 0\)

\(\dfrac{a}{2} > 0\)   \(/\times2\)

\(a > 0\)

2) \(y > 0\)

\(\dfrac{a}{2} + 1 > 0\)

\(\dfrac{a}{2} > -1\)  \(/\times2\)

\(a > -2\)

3) \(\begin{cases} a > 0,\\ a > -2, \end{cases} \, \Rightarrow \, a > 0\)

Ответ: решением системы является пара положительных чисел при всех значениях \(a > 0\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Систему линейных уравнений можно решать способом сложения.

2. После нахождения решения с параметром необходимо отдельно проверить дополнительные условия (в данной задаче — положительность чисел).

Подробное объяснение:

Система линейная и имеет единственное решение при любом \(a\). Мы выразили \(x\) и \(y\) через параметр \(a\):

\[ x = \frac{a}{2}, \qquad y = \frac{a}{2} + 1. \]

Чтобы пара \((x,y)\) состояла из положительных чисел, оба выражения должны быть больше нуля. Это приводит к неравенствам \(a>0\) и \(a>-2\). Более строгое из них — \(a>0\), оно и является ответом.