Вернуться к содержанию учебника
От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?
Вспомните:
Пусть скорость первого тела равна \(x\) м/с, скорость второго — \(y\) м/с (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию первое тело за 6 с прошло столько же, сколько второе за 8 с:
\[ 6x = 8y. \]
Через 15 с первое тело прошло \(15x\) м, второе — \(15y\) м, тогда по теореме Пифагора:
\[ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 6x = 8y,\\ (15x)^2 + (15y)^2 = 3^2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = \frac86y,\\ 225x^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = \frac43y,\\ 225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9 \end{cases} \]
\(225\cdot\left(\frac43y\right)^2 + 225y^2 = 9\)
\( ^{\color{blue}{25}}\cancel{225}\cdot\frac{16}{\cancel9_ {\color{blue}{1}} }y^2 + 225y^2 = 9\)
\(25\cdot16y^2 + 225y^2 = 9\)
\(400y^2 + 225y^2 = 9\)
\(625y^2 = 9\)
\(y^2 = \frac{9}{625}\)
\(y = \pm\sqrt{\frac{9}{625}}\)
\(y_1 = \frac{3}{25}\),
\(y_2 = -\frac{3}{25}\) - не удовлетворяет условию.
Если \(y = \frac{3}{25}\), то
\(x = \frac{4}{\cancel3}\cdot\frac{\cancel3}{25} =\frac{4}{25}\).
Ответ: скорость первого тела равна \(\dfrac{4}{25} = 0,16\) м/с, скорость второго — \(\dfrac{3}{25} = 0,12 \) м/с.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1. Формула пути: \(\; s = vt \).
2. Если движение происходит по перпендикулярным направлениям, расстояние между телами определяется по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2, \]
где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - его гипотенуза.
3. Системы уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к неполному квадратному уравнению.
4. Квадратное уравнение
\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).
Подробное объяснение:
Первое условие задачи связывает скорости тел через равенство пройденных расстояний за разное время. Второе условие связано с расстоянием между телами через 15 секунд и использует теорему Пифагора, так как движения происходят под прямым углом.
После составления системы и её решения были найдены скорости обоих тел. При этом учли то, что скорость не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника