Вернуться к содержанию учебника
Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?
Вспомните:
Пусть \(x\) ч потребуется первой бригаде, а \(y\) ч - второй (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию первая бригада работает быстрее на 4 часа:
\[ y - x = 4. \]
Производительность первой бригады равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второй — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. За 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 участков, значит:
\[ 24\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 5. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y - x = 4,\\ 24\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \end{cases} \]
\(\dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{x + 4} = 5 \) \(/\times x(x+4)\)
\(24(x + 4) + 24x= 5x(x + 4)\)
\(24x + 96 + 24x = 5x^2 + 20x\)
\(48x + 96 = 5x^2 + 20x\)
\(5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0\)
\(5x^2 -28x - 96 = 0\)
\( D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) =\)
\(=784 + 1920 = 2704 > 0\) - 2 корня.
\( \sqrt{2704} = 52. \)
\( x_1 = \frac{28 + 52}{2\cdot5} = \frac{80}{10} = 8\).
\( x_2 = \frac{28 - 52}{2\cdot5} = -\frac{24}{10} = -2,4\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 8\), то
\[ y = 8 + 4 = 12. \]
Ответ: первая бригада заасфальтирует участок за 8 ч, вторая бригада — за 12 ч.
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы: \(\dfrac{1}{t}\).
2. При совместной работе производительности складываются.
3. Разность во времени выполнения работы учитывается отдельным уравнением.
4. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Подробное объяснение:
Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждой бригады. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе за 24 часа даёт второе уравнение системы.
После подстановки получили квадратное уравнение, из которого нашли время работы каждой бригады. Отрицательное значение отбросили, так как время не может быть отрицательным.
Вернуться к содержанию учебника