Упражнение 427 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 128

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

Площадь прямоугольника равна:

\[ xy = 30. \]

Площади квадратов равны \(x^2\) и \(y^2\), тогда

\[ 2x^2 + 2y^2 = 122. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 30,\\ 2x^2 + 2y^2 = 122  / : 2 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} xy = 30,\\ x^2 + y^2 = 61 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} x = \frac{30}{y},\\[6pt] \left(\frac{30}{y}\right)^2 + y^2 = 61 \end{cases} \]

\(\left(\frac{30}{y}\right)^2 + y^2 = 61\)

\(\frac{900}{y^2} + y^2 = 61\)   \(/\times y^2\)

\(900 + y^4 = 61y^2\)

\(y^4 - 61y^2 + 900 = 0\)

Пусть \(y^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 61t + 900 = 0\)

\(D = (-61)^2 - 4\cdot1\cdot900 = \)

\(=3721 - 3600 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{121} = 11\).

\(t_1 = \frac{61 + 11}{2\cdot1} = \frac{72}{2} = 36\).

\(t_2 = \frac{61 - 11}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

1) Если \(t = 36\), то

\(y^2 = 36\)

\(y = -6\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 6\), тогда

\(x = \frac{30}{6} = 5\).

2) Если \(t = 25\), то

\(y^2 = 25\)

\(y = -5\) - не удовлетворяет условию.

\(y = 5\), тогда

\(x = \frac{30}{5} = 6\)

Ответ: стороны прямоугольника равны \(5\) см и \(6\) см.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Площадь прямоугольника:

\(\;S = ab\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

2. Площадь квадрата со стороной \(a\):

\(\;S = a^2\).

3. Систему уравнений с двумя переменными удобно решать методом подстановки. Подстановка приводит к биквадратному уравнению, которое через замену переменной приводим к квадратному уравнению.

4. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).