Упражнение 429 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 128

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x>0\) и \(y > 0\)).

По теореме Пифагора для исходного треугольника:

\[ x^2 + y^2 = 13^2 = 169.\]

Пусть увеличили катет \(x\) на 4 см, тогда новая гипотенуза равна \(13 + 2 = 15\) см. По теореме Пифагора для нового треугольника:

\[ (x+4)^2 + y^2 = 15^2 = 225. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 169,   /\times(-1)\\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \]

\( \begin{cases} -x^2 - y^2 = -169, \\ (x+4)^2 + y^2 = 225 \end{cases} \)   \((+)\)

\[ - x^2 + (x+4)^2 = -169 + 225 \]

\[ -\cancel{x^2} + \cancel{x^2} + 8x + 16 = 56 \]

\[ 8x + 16 = 56 \]

\(8x = 56 - 16\)

\[ 8x = 40\]

\(x = \frac{40}{8}\)

\[ x = 5 \]

\[ 5^2 + y^2 = 169 \]

\[ 25 + y^2 = 169 \]

\(y^2 = 169 - 25\)

\[ y^2 = 144 \]

\( y = 12\)

\(y = -12\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны \(5\) см и \(12\) см.

Пояснения:

Исходный треугольник:

Новый треугольник:

Используемые правила и формулы:

1. Теорема Пифагора:

\(\;a^2 + b^2 = c^2\),

где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника, \(c\) - гипотенуза.

2. При изменении одного катета меняется гипотенуза, что позволяет составить второе уравнение.

3. Систему уравнений удобно решать методом сложения, предварительно умножив первое уравнение системы на \((-1)\) в результате чего получим линейное уравнение с одной переменной, решив которое найдем переменную \(x\).

4. Подставляя найденное значение \(x\) в первое уравнение системы, находим значение переменной \(y\), учитывая то, что длина не может быть отрицательной.

5. Уравнение вида \(t^2 = a\) имеет корни \(t_{1,2} = \pm\sqrt a\).