Вернуться к содержанию учебника
Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?
Вспомните:
\( 3\text{ ч }45\text{ мин} = 3\frac{45}{60}\text{ ч } = 3\frac{3}{4}\text{ ч } =\)
\(=\frac{15}{4}\text{ ч } \).
Пусть \(x\) ч потребуется 1 экскаватору, а \(y\) ч - 2 экскаватору (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию первый экскаватор выполняет работу на 4 часа быстрее:
\[ y = x + 4. \]
Производительность 1 экскаватора \( \frac{1}{x}\), а второго \(\frac{1}{y}. \)
Совместно за \(\frac{15}{4}\) ч они выполняют всю работу:
\[ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \end{cases} \]
\( \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \) \(/\times4\)
\( \frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}=4 \) \(/\times x(x + 4)\)
\(15(x+4) + 15x = 4x(x+4)\)
\(15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x\)
\(30x + 60 = 4x^2 + 16x\)
\(4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0\)
\(4x^2 - 14x - 60 = 0\) \(/ : 2\)
\[ 2x^2-7x-30=0 \]
\( D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-30)=\)
\(=49+240=289 > 0\) - два корня.
\( \sqrt{289}=17. \)
\( x_1=\frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\).
\( x_2=\frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 6\), то
\[ y=6+4=10. \]
Ответ: первому экскаватору требуется \(6\) ч, второму — \(10\) ч.
Пояснения:
Правила и формулы:
1. Если работа выполняется за время \(t\), то производительность равна \(\dfrac{1}{t}\) работы за 1 час.
2. При совместной работе производительности складываются:
\[ v_{\text{общ}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}. \]
3. Если за время \(T\) выполнена вся работа, то
\[ T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]
4. Система с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение шагов:
Сначала ввели две переменные \(x\) и \(y\) — времена работы каждого экскаватора. Разность во времени дала уравнение \(y=x+4\).
Затем использовали условие о совместной работе: за \(\frac{15}{4}\) часа выполнена вся работа, значит произведение времени на суммарную производительность равно 1.
После подстановки получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень, потому что время не может быть отрицательным.
Вернуться к содержанию учебника