Вернуться к содержанию учебника
Из пункта \(M\) в пункт \(N\), расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт \(N\) на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.
Вспомните:
\(54\) мин = \(\frac{54}{60} \) ч = \(\frac{9}{10}\) ч.
Пусть скорость туриста из \(M\) равна \(x\) км/ч, а туриста из \(N\) - \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)).
По условию скорости отличаются на 1 км/ч:
\[ y - x =1. \]
Время движения туриста из \(M\): \( \frac{18}{x}\) ч, туриста из \(N\): \( \frac{18}{y} \) ч. В пункт \(N\) турист прибыл на \(\frac{9}{10}\) ч позже:
\[ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10}. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y-x=1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{y}=\frac{9}{10} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y= x + 1,\\ \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10} \end{cases} \]
\( \frac{18}{x}-\frac{18}{x+1}=\frac{9}{10}\) \(/\times10x(x+1)\)
\(180(x+1) -180x =9x(x+1)\)
\(\cancel{180x} + 180 - \cancel{180x} = 9x^2 + 9x\)
\(180 = 9x^2 + 9x\)
\(9x^2 + 9x - 180 = 0\) \( / : 9\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
\(D = 1^2 = 4\cdot1\cdot20 =\)
\(=1 + 80 = 81 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{81} = 9\).
\(x_1 = \frac{-1 + 9}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).
\(x_2 = \frac{-1 - 9}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 4\), то
\(y = 4 + 1 = 5\).
Ответ: скорости туристов \(4\) км/ч и \(5\) км/ч.
Пояснения:
Правила и формулы, которые использовались:
1. Время движения: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).
2. Перевод минут в часы:
\(\;54\text{ мин}=\dfrac{54}{60}=\dfrac{9}{10}\text{ ч}\).
3. Если один приехал позже, то его время больше:
\(\;t_{\text{медл}}-t_{\text{быстр}}=\dfrac{9}{10}\).
4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение шагов:
Первое уравнение \(y - x=1\) задаёт разницу скоростей. Второе уравнение получено из разности времён прохождения одинакового расстояния 18 км. После подстановки получилось квадратное уравнение, из которого взяли положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника