Вернуться к содержанию учебника
После того как смешали 12 г одной жидкости и 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна \(1{,}3\ \text{г/см}^3\). Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на \(0{,}2\ \text{г/см}^3\) больше плотности другой?
Вспомните:
Пусть плотность одной жидкости \(x\ \text{г/см}^3\), а плотность второй жидкости \(y\ \text{г/см}^3\) (\(x>0\), \(y > 0\)). . Тогда:
\(y=x+0{,}2\)
Общий вес смеси:
\(12+14=26\)
Объем смеси:
\(\dfrac{26}{1{,}3} = \dfrac{260}{13} = 20\)
Объём первой жидкости: \(\dfrac{12}{x}\) см3.
Объём второй жидкости: \(\dfrac{14}{y}\) см3.
Объем смеси:
\(\dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{y}=20.\)
Составим систему:
\(\begin{cases} y=x+0{,}2, \\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{y}=20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=x+0{,}2, \\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{x+0{,}2}=20 \end{cases}\)
\(\dfrac{12}{x}+\dfrac{14}{x+0{,}2}=20\) \(/\times x(x+0{,}2)\)
\(12(x + 0,2) + 14x = 20x(x + 0,2)\)
\(12x + 2,4 + 14x =20x^2 +4x\)
\(26x + 2,4 = 20x^2 + 4x\)
\(20x^2 + 4x - 26x - 2,4 = 0\)
\(20x^2 - 22x -2,4 = 0\) \(/ : 2\)
\(10x^2 - 11x - 1,2 = 0\) \(/\times 5\)
\(50x^2 - 55x - 6 = 0\)
\(D=55^2-4\cdot 50\cdot(-6)=\)
\(=3025+1200=4225 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{4225}=65\).
\(x_1=\dfrac{55+65}{2\cdot 50}=\dfrac{120}{100} =1{,}2\).
\(x_2=\dfrac{55-65}{2\cdot 50}=\dfrac{-10}{100} =-0,1\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 1,2\), то
\(y1{,}2+0{,}2=1{,}4\).
Ответ: плотности жидкостей: \(1{,}2\ \text{г/см}^3\) и \(1{,}4\ \text{г/см}^3\).
Пояснения:
Правила и формулы, которые использовались:
1. Связь массы \(m\), объёма \(V\) и плотности \(\rho\):
\[ \rho=\frac{m}{V}, \qquad V=\frac{m}{\rho}. \]
2. При смешивании массируются массы:
\(m_{\text{смеси}}=m_1+m_2\).
3. Объёмы складываются:
\(V_{\text{смеси}}=V_1+V_2\).
4. Если одна плотность больше другой на \(0{,}2\), то связь можно записать как \(y=x+0{,}2\).
5. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
6. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение к составлению уравнений:
Смесь имеет массу \(26\) г и плотность \(1{,}3\ \text{г/см}^3\), значит её объём равен
\[ V_{\text{см}}=\frac{26}{1{,}3}=20\ \text{см}^3. \]
Объёмы исходных жидкостей выражаются через их плотности:
\[ V_1=\frac{12}{x}, \qquad V_2=\frac{14}{y}. \]
Так как объёмы складываются, получаем уравнение:
\[ \frac{12}{x}+\frac{14}{y}=20. \]
Вместе с условием разности плотностей \(y=x+0{,}2\) это даёт систему двух уравнений с двумя переменными.
Подстановкой выразили \(y\) через \(x\), свели задачу к одному уравнению с дробями. После подстановки получилось квадратное уравнение, из которого взяли положительный корень, так как плотность не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника