Вернуться к содержанию учебника
Из куска олова массой 356 г и куска меди массой 438 г сделали сплав. Известно, что плотность олова на \(1{,}6\ \text{г/см}^3\) больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на \(20\ \text{см}^3\) меньше объёма куска меди.
Вспомните:
Пусть объем меди равен \(x\) см3, а объем олова равен \(y\) см3 (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда
\(x - y = 20\).
Плотность меди: \(\frac{438}{x} \) г/см3.
Плотность олова: \(\frac{356}{y} \) г/см3. Тогда
\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} x - y = 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{16}{10} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = y + 20,\\ \frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5} \end{cases} \]
\(\frac{356}{y} - \frac{438}{y+20}=\frac{8}{5}\) \(/\times 5y(y + 20)\)
\(1780(y + 20) - 2190y = 8y(y+20)\)
\(1780y + 35600 - 2190y = 8y^2 + 160y\)
\(35600 - 410y = 8y^2 + 160y\)
\(8y^2 + 160y + 410y - 35600 = 0\)
\(8y^2 + 570y - 35600 = 0\) \(/ :2\)
\(4y^2 + 285y - 17800 = 0\)
\(D = 285^2 - 4\cdot4\cdot17800 = \)
\(=81\,225 - 284\,800 =\)
\(=366\,025 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{366\,025} = \sqrt{121\cdot3025} = \)
\(=11\cdot55 = 605\).
\(y_1 = \frac{-285 + 605}{2\cdot4} = \frac{320}{8} = 40\).
\(y_2 = \frac{-285 - 605}{2\cdot4} = \frac{-890}{8} = \)
\(=- \frac{445}{4} = -111\frac14\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 40\), то
\(x = 40 + 20 = 60\).
Ответ: объём меди \(60\ \text{см}^3\), объём олова \(40\ \text{см}^3\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1. Связь массы, объёма и плотности:
\[ \rho=\frac{m}{V}.\]
2. Если объём олова на 20 меньше объёма меди, то \(x - y = 20\).
3. Если плотность олова больше плотности меди на \(1{,}6\), то
\[ \frac{356}{y} - \frac{438}{x}=1,6. \]
4. Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5) Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение решения:
Мы выразили плотности через массы и объемы с помощью формулы \(\rho=\frac{m}{V}\). Затем использовали условие разности плотностей и получили уравнение с дробями. После подстановки \(x = y + 20\) получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень (объем не может быть отрицательной). Нашли объем второго куска.
Вернуться к содержанию учебника