Вернуться к содержанию учебника
Из пунктов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта \(A\) пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?
Вспомните:
Пусть скорость пешехода из \(A\) равна \(x\) км/ч, а скорость пешехода из \(B\) равна \(y\) км/ч (\(x>0\) и \(y > 0\)). .
Через 4 часа им осталось 4 км до встречи, значит за 4 часа вместе они прошли:
\[ 40 - 4 = 36 \text{ км}. \]
За 4 ч пешеход из \(A\) прошел \(4x\) км, а пешеход из \(B\) - \(4y\) км:
\[ 4x + 4y = 36.\]
Если бы пешеход из \(A\) вышел на 1 час раньше, то до встречи он был бы в пути \(\frac{20}{x}\) ч, а пешеход из \(B\) - \(\frac{20}{y}\) ч:
\(\frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1\).
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 4x + 4y = 36, / : 4\\ \frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y = 9,\\ \frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 9 - y,\\ \frac{20}{9-y} - \frac{20}{y} = 1 \end{cases} \]
\(\frac{20}{9-y} - \frac{20}{y} = 1\) \(/\times y(9-y)\)
\(20y - 20(9-y) = y(9-y)\)
\(20y - 180 + 20y = 9y - y^2\)
\(40y - 180 = 9y - y^2\)
\(40y - 180 - 9y + y^2 = 0\)
\(y^2 + 31y - 180 = 0\)
\(D = 31^2 - 4\cdot1\cdot(-180) = \)
\(=9611 + 720 =961 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{1681} = 41\).
\(y_1 = \frac{-31 + 41}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).
\(y^2 = \frac{-31 - 41}{2\cdot1} = \frac{-72}{2} = -36\) - не удовлетворяет условию.
Если \(y = 5\), то
\(x = 9 - 5 = 4\)
Ответ: пешеход из \(A\) шёл со скоростью \(4\) км/ч, пешеход из \(B\) — со скоростью \(5\) км/ч.
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1. Формула пути: \(\;s=vt\).
2. Если до встречи осталось 4 км, то пройденное вместе расстояние равно \(40-4 = 36\).
3. При встрече в середине пути каждый проходит половину расстояния: \(20\) км.
4. Формула времени: \(t = \frac sv\).
5. Система с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
6. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Подробное объяснение:
Из первого условия нашли сумму скоростей: за 4 часа они вместе прошли 36 км, значит их общая скорость 9 км/ч.
Во втором условии встреча в середине означает, что оба прошли по 20 км, но первый шёл на 1 час дольше. Это приводит к уравнению:
\(\frac{20}{x} - \frac{20}{y} = 1\).
После подстановки получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень, потому что скорость не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника