Вернуться к содержанию учебника
Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
Вспомните:
Пусть масса детали нового типа равна \(x\) кг, а масса детали старого типа равна \(y\) кг (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию новая деталь легче на \(0{,}2\) кг:
\[ y = x + 0{,}2. \]
Из 22 кг металла делают деталей нового типа: \[ \frac{22}{x}. \] Из 24 кг металла делали деталей старого типа: \[ \frac{24}{y}. \]
По условию из 22 кг нового типа делают на 2 детали больше:
\[ \frac{22}{x} - \frac{24}{y} = 2. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y = x + 0{,}2,\\ \frac{22}{x} - \frac{24}{y} = 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x + 0{,}2,\\ \frac{22}{x} - \frac{24}{x + 0{,}2} = 2 \end{cases} \]
\( \frac{22}{x} - \frac{24}{x+0{,}2} = 2\) \(/\times x(x + 0,2)\)
\(22(x + 0,2) - 24x = 2x(x + 0,2)\)
\(22x + 4,4 - 24x = 2x^2 + 0,4x\)
\(-2x +4,4 = 2x^2 + 0,4x\)
\(2x^2 + 0,4x + 2x - 4,4 = 0\)
\(2x^2 + 2,4x - 4,4 = 0\) \(/ : 2 \)
\(x^2 + 1,2x - 2,2 = 0\)
\(D = 1,2^2 - 4\cdot1\cdot(-2,2) =\)
\( = 1,44 + 8,8 = 10,24 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{10,24} = 3,2\).
\(x_1 = \frac{-1,2 + 3,2 }{2\cdot1} = \frac22 = 1\).
\(x_2 = \frac{-1,2 - 3,2 }{2\cdot1} = \frac{-4,4}{2}= -2,2\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 1\), то
\[ y = 1 + 0{,}2 = 1{,}2. \]
Ответ: масса детали нового типа \(1\) кг, масса детали старого типа \(1{,}2\) кг.
Пояснения:
Правила и приёмы, которые использовались:
1. Если известно, на сколько одна величина меньше другой, составляется уравнение разности: \(y=x+0{,}2\).
2. Количество деталей из заданной массы металла равно \(\dfrac{\text{масса металла}}{\text{масса одной детали}}\).
3. Для решения системы использован метод подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
4. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение шагов:
Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\) для масс деталей нового и старого типов. Первое условие дало связь
\(y=x+0{,}2\).
Второе условие описало разницу в количестве изготовленных деталей из разных масс металла.
После подстановки получили уравнение, которое свелось к квадратному. Подходящим оказался только положительный корень, потому что масса детали не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника