Вернуться к содержанию учебника
Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они заканчивают уборку урожая через 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?
Вспомните:
Пусть \(x\) ч потребуется первому комбайнеру, а второму — через \(y\) ч (\(x>0\) и \(y > 0\)). По условию первый работает быстрее на 24 часа:
\[ y - x = 24. \]
Производительность первого комбайнёра равна \(\dfrac{1}{x}\) участка в час, второго — \(\dfrac{1}{y}\) участка в час. Весь участок убран за 35 часов, тогда:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{35} \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y - x = 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x + 24,\\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 24} = \dfrac{1}{35} \end{cases} \]
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35} \) \(/\times 35x(x+24)\)
\(35(x+24) + 35x = x(x+24)\)
\(35x + 840 + 35x = x^2 + 24x\)
\(70x + 840 = x^2 + 24x\)
\(x^2 + 24x - 70x - 840 = 0\)
\(x^2 - 46x -840 = 0\)
\( D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) =\)
\(= 2116 + 3360 = 5476 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{5476} = 74. \)
\( x_1 = \frac{46 + 74}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\).
\(x_2 = \frac{46 - 74}{2\cdot1} = -\frac{28}{2} = -14 \) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 60\), то
\(y = 60 + 24 = 84\)
Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 ч, второму — 84 ч.
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1. В задачах на совместную работу удобно вводить две переменные — время работы каждого исполнителя.
2. Производительность равна величине, обратной времени выполнения работы.
3. При совместной работе производительности складываются.
4. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Подробное объяснение:
Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), так как нужно найти время работы каждого комбайнёра. Разность во времени работы дала первое уравнение системы, а условие о совместной работе — второе.
После подстановки система свелась к квадратному уравнению. Из двух корней подходит только положительный, так как время не может быть отрицательным.
Вернуться к содержанию учебника