Вернуться к содержанию учебника
Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на 1 дм², то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.
Вспомните:
Пусть первоначальная площадь опоры равна \(x\) дм2, а новая площадь опоры равна \(y\) дм2 (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию площадь уменьшили на 1 дм2:
\[ y = x - 1. \]
Первоначальная нагрузка на 1 дм² равна: \( \frac{30}{x}. \) После изменения масса стала 28 кг, а нагрузка на 1 дм² равна: \( \frac{28}{y}. \) По условию новая нагрузка больше прежней на 1 кг:
\[ \frac{28}{y} - \frac{30}{x} = 1. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y = x - 1,\\ \frac{28}{y} - \frac{30}{x} = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x - 1,\\ \frac{28}{x-1} - \frac{30}{x} = 1 \end{cases} \]
\( \frac{28}{x - 1} - \frac{30}{x} = 1\) \(/\times x(x-1)\)
\(28x - 30(x-1) = x(x-1)\)
\(28x - 30x + 30 = x^2 - x\)
\(-2x + 30 = x^2 - x\)
\(x^2 - x + 2x - 30 = 0\)_
\(x^2 + x - 30 = 0\)
\(D = 1^2 + 4\cdot1\cdot(-30) = \)
\( = 1 + 120 = 121 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{121} = 11\).
\(x_1 = \frac{-1 + 11}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).
\(x_2 = \frac{-1 - 11}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 5\), то
Ответ: площадь опоры равна \(5\) дм².
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1. Нагрузка на единицу площади равна отношению массы к площади:
\[ q = \frac{m}{S}. \]
2. Изменение площади учитывается отдельным уравнением.
3. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
4. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Подробное объяснение:
Мы ввели две переменные \(x\) и \(y\), чтобы явно отразить изменение площади опоры. Первое уравнение описывает уменьшение площади, второе — изменение нагрузки на каждый квадратный дециметр.
После подстановки система свелась к квадратному уравнению. Из двух корней подходит только положительный, так как площадь не может быть отрицательной.
Вернуться к содержанию учебника