Вернуться к содержанию учебника
Из населённых пунктов \(M\) и \(N\), удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт \(M\) на 25 мин раньше, чем другой в пункт \(N\).
Вспомните:
\(30\text{ мин}=\dfrac{1}{2}\text{ ч}\).
\(25\text{ мин}=\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12}\text{ ч}\)
Пусть скорость мотоциклиста, выехавшего из \(M\), равна \(x\) км/ч, а мотоциклиста, выехавшего из \(N\) равна \(y\) км/ч (\(x>0\), \(y > 0\)), тогда
\(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).
Время прибытия в \(N\) для первого: \(\dfrac{50}{x}\), в \(M\) для второго: \(\dfrac{50}{y}\). По условию в \(M\) прибыли на 25 мин раньше, чем в \(N\):
\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\)
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+y)=50, /\times 2 \\[6pt] \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x+y=100,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y=100 - x,\\ \dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12} \end{cases} \]
\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{100-x}=\dfrac{5}{12}\) \(/\times 12x(100 - x\)\)
\(600(100 - x) - 600x =5x(100 -x)\)
\(60\,000 - 600x - 600x = 500x - 5x^2\)
\(60\,000 - 1200x = 500x - 5x^2\)
\(60\,000 - 1200x - 500x + 5x^2 = 0\)
\(5x^2 -1700x + 60\,000 = 0\) \(/ : 5\)
\(x^2 - 340x + 12\,000 = 0\)
\( D=(-340)^2-4\cdot 1\cdot 12000=\)
\(=115600-48000=67600 > 0 \) - два корня.
\(\sqrt{67600}=260\).
\( x_1=\frac{340-260}{2\cdot1} = \frac{80}{2} =40 \).
\( x_2=\frac{340+260}{2\cdot1} = \frac{600}{2} =300 \) - не удовлетворяет условию задачи.
Если \(x =- 40\), то
\(y=100-40=60\).
Ответ: скорость мотоциклиста из \(M\): \(40\) км/ч, из \(N\): \(60\) км/ч.
Пояснения:
Правила и формулы:
1) Путь: \(\;s=vt\), время: \(\;t=\dfrac{s}{v}\).
2) При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей: \(\;v_{\text{сбл}}=x+y\).
3) Разность моментов прибытия выражается разностью времен.
4) Система уравнений решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5) Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Почему получились уравнения системы:
За \(\dfrac{1}{2}\) часа до встречи оба вместе проехали 50 км, значит \(\dfrac{1}{2}(x+y)=50\).
Чтобы доехать до противоположного пункта, каждому нужно проехать 50 км: времена в пути \(\dfrac{50}{x}\) и \(\dfrac{50}{y}\).
Так как в \(M\) прибыли на \(\dfrac{5}{12}\) часа раньше, чем в \(N\), записываем
\(\dfrac{50}{x}-\dfrac{50}{y}=\dfrac{5}{12}\) (в \(M\) приехал мотоциклист из \(N\), значит его время меньше).
Проверка смысла ответа:
\(\dfrac{50}{40}=1{,}25\text{ ч}=75\text{ мин}\),
\(\dfrac{50}{60}=\dfrac{5}{6}\text{ ч}=50\text{ мин}\),
разница \(75-50=25\) мин — условие выполняется.
Вернуться к содержанию учебника