Упражнение 537 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 152

а) \(4x^4+4x^2-15=0\)

Пусть \(x^2=t \ge 0\).

\(4t^2+4t-15=0\)

\(D=4^2-4\cdot4\cdot(-15)=\)

\(=16+240=256 > 0 \) - два корня.

\(\sqrt{D}=16\).

\(t_1=\dfrac{-4+16}{2\cdot4}= \dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2} = 1,5,\)

\(t_2=\dfrac{-4-16}{2\cdot4} =-\dfrac{20}{8} =-\dfrac{5}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 1,5\), то

\(x^2=1,5\)

\(x=\pm\sqrt{1,5}\)

Ответ: \(x=\pm\sqrt{1,5}\).

б) \(2x^4-x^2-36=0\)

Пусть \(x^2=t > 0\).

\(2t^2-t-36=0\)

\(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-36) =\)

\(=1+288=289 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{D}=17\).

\(t_1=\dfrac{1+17}{2\cdot2}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2} = 4,5,\)

\( t_2=\dfrac{1-17}{2\cdot2}=-\dfrac{16}{4}=-4 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 4,5\), то

\(x^2=4,5\)

\(x=\pm\sqrt{4,5}\)

Ответ: \(x=\pm\sqrt{4,5}\).

Пояснения:

В обоих уравнениях переменная входит только в чётных степенях (биквадратное уравнение), поэтому удобно сделать замену \(x^2=t\). Это позволяет свести уравнение четвёртой степени к квадратному уравнению.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

После нахождения значений \(t\) учитывается, что \(t=x^2\ge0\). Отрицательные значения \(t\) не дают действительных решений и отбрасываются. Для положительных значений \(t\) находим соответствующие значения \(x\), учитывая то, что их \(x^2 = a\) имеем \(x = \pm\sqrt a\).