Упражнение 538 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 152

а) \(x^2+x-42\le 0\)

\(y = x^2+x-42\le 0\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2+x-42=0\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1+168=169 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{169}=13\)

\(x_1=\dfrac{-1+13}{2\cdot1}= \dfrac{12}{2}=6,\)

\(x_2=\dfrac{-1-13}{2} = -\dfrac{14}{2}=-7\).

Ответ: \(x \in [-7; 6].\)

б) \((x+11)(x+4)(x-1)>0\)

\((x+11)(x+4)(x-1)=0\)

или \(x + 11 = 0,\, \Rightarrow x = -11\).

или \(x + 4 = 0,\, \Rightarrow x=-4\).

или \(x - 1 = 0,\, \Rightarrow x=1\).

Ответ: \(x \in (-11; 4) \cup (1; + \infty )\).

Пояснения:

а) Квадратное неравенство

\(x^2+x-42\le 0\)

решают через корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2+x-42=0\). Находим дискриминант и корни \(x=-7\) и \(x=6\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, значит выражение \(\le 0\) на отрезке между корнями, включая сами корни. Поэтому решение \([-7,6]\).

б) Неравенство

\((x+11)(x+4)(x-1)>0\) — произведение трёх линейных множителей. Сначала находим нули произведения: \(-11\), \(-4\), \(1\). Эти точки делят ось на промежутки. На каждом промежутке знак произведения постоянен, поэтому достаточно проверить знак, подставив любое число из промежутка. Получаем, что произведение положительно на промежутках \((-11,-4)\) и \((1,+\infty)\). Так как неравенство строгое, точки \(-11\), \(-4\), \(1\) не входят.