Упражнение 386 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 121

а) \(\begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ y - x = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x - 2)(x + 1 + 3) = 160, \\ y = x + 1 \end{cases}\)

1) \((x - 2)(x + 1 + 3) = 160\)

\((x - 2)(x + 4) = 160\)

\(x^2 + 4x - 2x - 8 - 160 = 0\)

\(x^2 + 2x - 168 = 0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot (-168) =\)

\(=4 + 672 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\).

\(x_1 = \dfrac{-2 + 26}{2\cdot1} = \dfrac{24}{2} = 12.\)

\(x_2 = \dfrac{-2 - 26}{2\cdot1} = \dfrac{-28}{2} = -14.\)

1) Если \(x = 12\), то

\(y = 12 + 1 = 13.\)

2) Если \(x = -14\), то

\(y = -14 + 1 = -13.\)

Ответ: \((12; 13)\), \((-14; -13)\).

б) \(\begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x - y = 11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (y + 11 - 1)(y + 10) = 9, \\ x = y + 11 \end{cases}\)

1) \((y + 11 - 1)(y + 10) = 9\)

\((y + 10)(y + 10) = 9\)

\((y + 10)^2 = 9\)

\(y^2 + 20x + 100 - 9 = 0\)

\(y^2 + 20x + 91 = 0\)

\(D = 20^2 - 4\cdot1\cdot91 =\)

\(=400 = 364 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(y_1 = \frac{-20 + 6}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7\).

\(y_2 = \frac{-20 - 6}{2\cdot1} = \frac{-26}{2} = -13\).

1) Если \(y = -7\), то

\(x = -7 + 11 = 4\).

2) Если \(y = -13\), то

\(x = -13 + 11 = -2\).

Ответ: \((4; -7)\), \((-2; -13)\).

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Чтобы решить системы уравнений, использовали метод подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Квадратные уравнения вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)