Упражнение 384 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 121

а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (y+3)^2 + y^2 = 9, \\ x = y + 3 \end{cases}\)

\((y + 3)^2 + y^2 = 9\)

\(y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9\)

\(2y^2 + 6y + 9 = 9\)

\(2y^2 + 6y = 9 - 9\)

\(2y^2 + 6y = 0\)

\(2y(y + 3) = 0\)

\(y = 0\) или \(y + 3 = 0\)

                  \(y = -3\)

Если \(y = 0\), то

\(x = 0 + 3 = 3\).

Если \(y = -3\), то

\(x = -3 + 3= 0\).

Ответ: \((3; 0)\), \((0; -3)\).

б) \(\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = y + 4, \\ (y + 4)y = 12 \end{cases}\)

\((y + 4)y = 12\)

\(y^2 + 4y - 12 = 0\)

\(D =4^2 - 4\cdot1\cdot (-12) =\)

\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(y_1 = \dfrac{-4 + 8}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)

\(y_2 = \dfrac{-4 - 8}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)

1) Если \(y = 2\), то

\(x = 2 + 4 = 6\).

2) Если \(y = -6\), то

\(x = -6 + 4 = -2\).

Ответ: \((6; 2)\), \((-2; -6)\).

в) \(\begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2(10 - y^2) - y = -1, \\ x = 10 - y^2 \end{cases}\)

\(2(10 - y^2) - y = -1\)

\(20 - 2y^2 - y + 1 = 0\)

\(-2y^2 - y + 21 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(2y^2 + y - 21 = 0\)

\(D = 1^2 -4\cdot2\cdot(-21\) =\)

\(=1 + 168 = 169 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {169} = 13\).

\(y_1 = \frac{-1 + 13}{2\cdot2} = \frac{12}{4} = 3\).

\(y_2 = \frac{-1 - 13}{2\cdot2} = \frac{-14}{4} = -\frac72 = -3,5\).

Если \(y = 3\), то

\(x = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1\).

Если \(y = -3,5\), то

\(x = 10 - (-3,5)^2 = 10 - 12,25 =\)

\(=-2,25\).

Ответ: \((1; 3)\), \((-2,25; -3б5)\).

Пояснения:

При решении систем используем метод подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую из одного из уравнений.

2. Подставить полученное выражение в другое уравнение и, решив полученное уравнение, найти оставшуюся переменную.

3. Найти вторую переменную подстановкой.