Упражнение 387 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 121

а) \(\begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24; \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6y - 6x - 50 - y = 0, \\ y - xy = 24; \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5y - 6x - 50 = 0, \\ y - xy = 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6x = 5y - 50,    / : 6 \\ y - xy = 24 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \frac{5y - 50}{6}, \\ y - \frac{5y - 50}{6} \cdot y = 24 \end{cases}\)

\(y - \frac{5y - 50}{6} \cdot y = 24\)  \(/\times 6\)

\(6y - (5y - 50)y = 144\)

\(6y - 5y^2 + 50y - 144 = 0\)

\(-5y^2 + 56y - 144 = 0\)

\(5y^2 - 56 + 144 = 0\)

\(D = (-56)^2 - 4\cdot4\cdot144 = \)

\(=3136 - 2880 = 256 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{256} = 16\).

\(y_1 = \frac{56 + 16}{2\cdot5} = \frac{72}{10} = 7,2\).

\(y_2 = \frac{56 - 16}{2\cdot5} = \frac{40}{10} = 4\).

1) Если \(y = 7,2\), то

\(x = \frac{5\cdot7,2 - 50}{6} = \frac{36 - 50}{6} =\)

\(=\frac{-14}{6} = -\frac73=-2\frac13\).

2) Если \(y = 4\), то

\(x = \frac{5\cdot4 - 50}{6} = \frac{20 - 50}{6} =\)

\(=\frac{-30}{6} =-5\).

Ответ: \( \left(-2\dfrac{1}{3};\, 7,2\right)\), \((-5; 4)\).

б) \(\begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} p + 5t = 2p + 2t, \\ pt - t = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} p - 2p = 2t - 5t, \\ pt - t = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -p = -3t, \\ pt - t = 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} p = 3t, \\ 3t\cdot t - t = 10 \end{cases}\)

\(3t\cdot t - t = 10\)

\(3t^2 - t - 10 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot 3\cdot (-10) =\)

\(=1 + 120 = 121 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{121} = 11\).

\(t_1 = \dfrac{1 + 11}{2\cdot3} = \dfrac{12}{6}=2. \)

\(t_2 = \dfrac{1 - 11}{2\cdot3} = \dfrac{-10}{6}=-\frac53 = -1\frac23. \)

1) Если \(t = 2\), то

\(p = 3\cdot2 = 6\).

2) Если \(t = -\dfrac{5}{3}\), то

\(p = 3\cdot \left(-1\frac23\right) = -3\cdot \frac53 = -5.\)

Ответ: \( (6;\, 2)\), \(\left(-5;\,-1\dfrac{2}{3}\right)\).

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Чтобы решить системы уравнений, использовали метод подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Квадратные уравнения вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)