Вернуться к содержанию учебника
Решите способом подстановки систему уравнений:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 12,\\ xy = -6; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34,\\ xy = 20. \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 12,\\ xy = -6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12,\\ y = -\frac{6}{x} \end{cases}\)
\( x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12 \)
\( x^2 + \frac{36}{x^2} = 12\) \(/\times x^2\)
\( x^4 + 36 = 12x^2\)
\( x^4 - 12x^2 + 36 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\).
\( t^2 - 12t + 36 = 0\)
\((t - 6)^2 = 0\)
\(t - 6 = 0\)
\(t = 6\)
\(x^2 = 6\)
\(x = \pm\sqrt6\)
1) Если \(x = \sqrt{6}\), то
\( y = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = -\sqrt6\).
2) Если \(x = -\sqrt{6}\), то
\( y = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = \sqrt6\).
Ответ: \((\sqrt{6};\,-\sqrt{6})\), \((-\sqrt{6};\,\sqrt{6})\).
б) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34,\\ xy = 20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34,\\ y = \frac{20}{x} \end{cases}\)
\( 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34 \)
\( 2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34\) \(/\times x^2\)
\( 2x^4 - 400 = 34x^2\)
\( 2x^4 - 34x^2 - 400 = 0\) \( / : 2\)
\( x^4 - 17x^2 - 200 = 0\)
Пусть \(x^2 = t \ge 0\).
\(t^2 - 17t - 200 = 0\)
\( D = 17^2 - 4\cdot1\cdot(-200)=\)
\(= 289 + 800 = 1089> 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{1089} = 33\).
\(t_1 = \frac{17 + 33}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).
\(t_2 = \frac{17 - 33}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8\) - не удовлетворяет условию.
При \(t = 25\):
\( x^2 = 25\)
\(x = \pm5\).
Если \(x = 5\), то
\( y = \frac{20}{5} = 4\).
Если \(x = -5\), то
\( y = \frac{20}{-5} = -4\).
Ответ: \((5;\,4)\), \((-5;\,-4)\).
Пояснения:
В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:
1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.
3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.
4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.
Пояснение к пункту а).
После подстановки получено дробно-рациональное уравнение, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получили уравнение четвёртой степени, которое сводится к квадрату двучлена \((x^2 - 6)^2 = 0\). Это даёт одно значение \(x^2\), из которого находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).
Пояснение к пункту б).
Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получаем уравнение четвёртой степени, которое удобно рассматривать как квадратное относительно \(x^2\), то есть ввести замену \(x^2 = t \ge 0\). Отрицательное значение \(t\) отбрасывается, так как не имеет действительных решений. Из положительного \(t\) находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника