Вернуться к содержанию учебника
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
а) окружности \(x^2 + y^2 = 36\) и параболы \(y = x^2 + 6\);
б) окружностей \(x^2 + y^2 = 16\) и \((x - 2)^2 + y^2 = 36\);
в) окружности \(x^2 + y^2 = 25\) и прямой \(4x - y = 0\).
Вспомните:
а) \(x^2 + y^2 = 36\) и \(y = x^2 + 6\).
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)
\(x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36\)
\(x^2 + x^4 + 12x^2 + 36 - 36 = 0\)
\(x^4 + 13x^2 = 0\)
\(x^2(x^2 + 13) = 0\)
\(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\).
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
\(y = 0^2 + 6 = 6\)
Ответ: точка пересечения \((0, 6)\).
б) \(x^2 + y^2 = 16\) и \((x - 2)^2 + y^2 = 36\)
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y^2 = 16 - x^2,\\ (x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \end{cases}\)
\((x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \)
\(\cancel{x^2} - 4x + 4 + 16 - \cancel{x^2} = 36\)
\(-4x + 20 = 36\)
\(-4x = 36-20\)
\(-4x = 16\)
\(x = \frac{16}{-4}\)
\(x = -4\)
\((-4)^2 + y^2 = 16\)
\(16 + y^2 = 16\)
\(y^2 = 16 - 16\)
\(y^2 = 0\)
\(y = 0\)
Ответ: точка пересечения \((-4, 0)\).
в) \(x^2 + y^2 = 25\) и \(4x - y = 0\)
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ 4x - y = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2 + (4x)^2 = 25,\\ y = 4x \end{cases}\)
\(x^2 + (4x)^2 = 25\)
\(x^2 + 16x^2 = 25\)
\(17x^2 = 25\)
\(x^2 = \dfrac{25}{17}\)
\(x = \pm\sqrt{\frac{25}{17}}\)
\(x = \pm\dfrac{5}{\sqrt{17}}\)
Если \(x = \dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то
\(y = 4\cdot\dfrac{5}{\sqrt{17}} = \dfrac{20}{\sqrt{17}}\).
Если \(x = -\dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то
\(y = 4\cdot\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}}\right) = -\dfrac{20}{\sqrt{17}}\).
Ответ: точки пересечения:
\(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).
Пояснения:
Точки пересечения двух графиков находятся из системы, составленной из их уравнений.
При решении систем используем метод подстановки:
1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.
3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.
4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.
Пояснение к пункту а).
Подставили \(y = x^2 + 6\) в уравнение окружности. Получилось уравнение \[ x^4 + 13x^2 = 0, \] которое раскладывается на множители \(x^2(x^2+13)=0\). Учитывая то, что \(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\), полученное уравнение имеет один корень \(x=0\), затем нашли \(y=6\). Точка пересечения графиков \((0; 6)\).
Пояснение к пункту б).
Из уравнения первой окружности выразили \(y^2\) и подставили в уравнение второй окружности. Получили линейное уравнение \(-4x + 20 = 36\), из которого нашли \(x = -4\), затем нашли \(y = 0\). Точка пересечения графиков \((-4; 0)\).
Пояснение к пункту в).
Из уравнения прямой \(4x-y=0\) выразили \(y=4x\) и подставили в окружность. Получили \( 17x^2=25, \) поэтому \(x=\pm \dfrac{5}{\sqrt{17}}\). Затем нашли соответствующие значения \(y\). Точки пересечения графиков \(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).
Вернуться к содержанию учебника