Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений, используя способ сложения:
а) \(\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14,\\ x^2 + 2y^2 = 18; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 61,\\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} xy + x = 56,\\ xy + y = 54. \end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14,\\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}\) \((+)\)
\((x^2 + x^2) + (- 2y^2 + 2y^2) = 14 + 18\)
\(2x^2 = 32\)
\(x^2 = \frac{32}{2}\)
\(x^2 = 16\)
\(x = \pm\sqrt{16}\)
\(x = \pm4\)
1) Если \(x = 4\), то
\(4^2 + 2y^2 = 18\)
\(16 + 2y^2 = 18\)
\(2y^2 = 18 - 16\)
\(2y^2 = 2\)
\(y^2 = \frac{2}{2}\)
\(y^2 = 1\)
\(y = \pm\sqrt1\)
\(y = \pm1\)
2) Если \(x = -4\), то
\((-4)^2 + 2y^2 = 18\)
\(16 + 2y^2 = 18\)
\(y = \pm1\)
Ответ: \((4;1), (4;-1), (-4;1), (-4;-1)\).
б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 61,\\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}\) \((+)\)
\((x^2 + x^2) + (y^2 - y^2) = 61 + 11\)
\(2x^2 = 72\)
\(x^2 = \frac{72}{2}\)
\(x^2 = 36\)
\(x = \pm\sqrt{36}\)
\(x = \pm6\)
\(x^2 - y^2 = 11\)
\(36 - y^2 = 11\)
\(-y^2 = -25\)
\(y^2 = 25\)
\(y = \pm\sqrt{25}\)
\(y = \pm5\)
Ответ: \((6;5), (6;-5), (-6;5), (-6;-5)\).
в) \(\begin{cases} xy + x = 56,\\ xy + y = 54 /\times(-1) \end{cases}\)
\(\begin{cases} xy + x = 56,\\ -xy - y = -54 \end{cases}\) \((+)\)
1) \((xy - xy) + (x - y) = 56 - 54\)
\(x - y = 2\)
\(x = y + 2\)
2) \(xy + y = 54\)
\((y + 2)y + y = 54\)
\(y^2 + 2y + y - 54 = 0\)
\(y^2 + 3y - 54 = 0\)
\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-54) = \)
\(=9 + 216 = 225 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{225} = 15\).
\(y_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
\(y_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\).
3) Если \(y = -9\), то
\(x = -9 + 2 = -7\).
Если \(y = 6\), то
\(x = 6 + 2 = 8\).
Ответ: \((-7; -9)\), \((8; 6)\).
Пояснения:
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:
1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;
3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
5) вычислить значение другой переменной.
Пояснение к пункту а).
В уравнениях стоят \(x^2\) и \(\pm 2y^2\). При сложении системы слагаемые \(-2y^2\) и \(+2y^2\) уничтожаются, остаётся \(2x^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.
Пояснение к пункту б).
Здесь при сложении \(+y^2\) и \(-y^2\) сокращаются, и сразу находится \(x^2\). Затем из второго уравнения находим \(y^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.
Пояснение к пункту в).
Если второе уравнение системы умножить на \((-1)\), то при сложении уравнений системы выражение \(xy\) исчезает, и получаем простое линейное соотношение \(x-y=2\). Далее подставляем \(x=y+2\) в одно из уравнений системы, получаем квадратное уравнение для \(y\), а затем находим \(x\).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника