Упражнение 393 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 121

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ xy = 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10,\\ y = \frac{3}{x} \end{cases}\)

\( x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10\)

\( x^2 + \frac{9}{x^2} = 10\)      \(/\times x^2\):

\( x^4 + 9 = 10x^2\)

\( x^4 - 10x^2 + 9 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 10t + 9 = 0\)

\(D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)

\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(t_1 = \frac{10 + 8}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).

\(t_2 = \frac{10 - 8}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

1) При \(t = 1\):

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm1\)

Если \(x = 1\), то

\( y = \frac{3}{1} = 3\).

Если \(x = -1\), то

\( y = \frac{3}{-1} = -3\).

2) При \(t = 9\):

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm\sqrt9\)

\(x = \pm3\)

Если \(x = 3\), то

\( y = \frac{3}{3} = 1\).

Если \(x = -3\), то

\( y = \frac{3}{-3} = -1. \)

Ответ: \((1;3)\), \((-1;-3)\), \((3;1)\), \((-3;-1)\).

Пояснения:

При решении системы использовали метод подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Подробное пояснение решения:

Из уравнения \(xy = 3\) выразили \(y\) через \(x\) и подставили в уравнение \(x^2 + y^2 = 10\). После избавления от дробей получили уравнение четвёртой степени, которое свели к квадратному уравнению относительно \(x^2\). Найдя возможные значения \(x\), для каждого из них вычислили соответствующее значение \(y\). Так как квадрат числа может иметь два знака, система имеет четыре решения.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).