Упражнение 549 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 157

1. Так как через точки \(A_1,A_2,\ldots\) проведены параллельные прямые, то треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\), \(\ldots\) подобны по двум углам (\(\angle О\) - общий, \(\angle {OA_1B_1} = \angle {OA_nB_n}\) как соответственные углы при параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(A_nB_n\) и секущей \(OA_n\)), тогда

\(\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}\)

На луче \(OA\) отложены равные отрезки, значит:

\(OA_n=n\cdot OA_1, \Rightarrow \)

\(\Rightarrow \dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{n\cdot OA_1}{OA_1}=n, \Rightarrow \)

\(\Rightarrow A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).

2. а) \(A_5B_5=5\cdot A_1B_1=5\cdot1{,}5=\)

\(=7{,}5\).

б) \(A_{10}B_{10}=10\cdot A_1B_1=10\cdot1{,}5=\)

\(=15\).

Пояснения:

Используем теорему о пропорциональных отрезках (следствие из подобия треугольников): если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла (или две пересекающиеся прямые), то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

В задаче точки \(A_1,A_2,\ldots\) лежат на луче \(OA\) так, что \(OA_1= A_1A_2= A_2A_3=\ldots\). Через эти точки проведены прямые, параллельные друг другу, и они пересекают луч \(OB\) в точках \(B_1,B_2,\ldots\).

Рассмотрим треугольники \(OA_1B_1\) и \(OA_nB_n\). У них общий угол при \(O\), а углы при \(A_1\) и \(A_n\) равны соответствующим углам при параллельных прямых, поэтому треугольники подобны.

Из подобия следует пропорция:

\[\dfrac{A_nB_n}{A_1B_1}=\dfrac{OA_n}{OA_1}.\]

Так как \(OA_n\) состоит из \(n\) равных отрезков \(OA_1\), то \(OA_n=n\cdot OA_1\). Подставляя это в пропорцию, получаем \(A_nB_n=n\cdot A_1B_1\).

Отсюда:

\(A_5B_5=5\cdot1{,}5=7{,}5\) см,

\(A_{10}B_{10}=10\cdot1{,}5=15\) см.