Вернуться к содержанию учебника
(Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1?
1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через \(d\), \(n\) или \(m\), где \(d\) — разность прогрессии, \(n\) — номер члена, равного 20, \(m\) — номер члена, равного 35. Докажите, что
\(\dfrac{n-1}{m-1}=\dfrac{8}{23}\).
2) Полагая, что \(n-1=8k\) и \(m-1=23k\), где \(k\in\mathbb{N}\), выразите \(m\) и \(n\) через \(k\). Обсудите, как, выбрав значение \(k\), большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.
3) Объясните, почему значение \(k=1\) приводит к противоречию с условием задачи.
Вспомните:
\(a_1 = 12\), \(d \ne1\),
\(a_n = 20\), \(a_m = 35\).
1) \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(20=12+(n-1)d\)
\((n-1)d = 20 - 12\)
\((n - 1) d = 8\)
\(d = \frac{8}{n-1}\).
\(a_m = a_1 + (m - 1)d\)
\(35=12+(m-1)d\)
\((m - 1)d = 35 - 12\)
\((m-1)d = 23\)
\(d = \frac{23}{m-1}\).
Значит, \( \frac{8}{n-1} = \frac{23}{m-1}\).
Что и требовалось доказать.
2) \(n-1=8k; \quad m-1=23k\),
где \(k\in\mathbb{N}\), тогда:
\(n=8k+1,\quad m=23k+1\)
Если \(k=2\), то
1) \(n=8\cdot2+1 = 16 + 1 = 17,\)
\(d = \frac{8}{17-1} = \frac{8}{16} = \frac12=0,5\).
2) \(m=23\cdot2+1 = 46 + 1 = 47.\)
\(d = \frac{23}{47-1}=\frac{23}{46} = \frac12=0,5\).
Следовательно, при любом натуральном \(k>1\) существует арифметическая прогрессия с первым членом 12, разностью, не равной 1, и членами 20 и 35.
3) Если \(k=1\), то
1) \(n=8\cdot1+1 = 8 + 1 = 9,\)
\(d = \frac{8}{9-1} = \frac{8}{8}=1\).
2) \(m = 23\cdot1 + 1 =23 + 1 = 24\).
\(d = \frac{23}{24-1}=\frac{23}{23} = \frac12=1\).
Это противоречит условию задачи, так как по условию \(d\ne 1\).
Пояснения:
Используется формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
В пункте 1 числа 20 и 35 подставляются в эту формулу, что позволяет выразить \(d\) из этих формул. Учитывая то, что \(d\) одно и то же, получаем \( \frac{8}{n-1} = \frac{23}{m-1}\).
В пункте 2 проверяем подстановкой \(k = 2\) выполнение того, что можно получить арифметическую прогрессию.
Выбор \(k>1\) гарантирует выполнение условия \(d\ne1\), а пункт 3 объясняет, почему значение \(k=1\) недопустимо.
Вернуться к содержанию учебника