Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму первых пятидесяти, ста, \(n\) членов последовательности \((x_n)\), если:
а) \(x_n=4n+2\);
б) \(x_n=2n+3\);
в) \(x_n=n-4\);
г) \(x_n=3n-1\).
Вспомните:
а) \(x_n=4n+2\) - арифметическая прогрессия.
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(x_1=4\cdot1+2=6,\)
1) \(x_{50}=4\cdot50+2=202,\)
\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50} ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)
\(=(x_1+x_{50})\cdot25 =\)
\(=(6+ 202)\cdot25 =\)
\(=208\cdot25=5200\).
2) \(x_{100}=4\cdot100+2=402\)
\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100} ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)
\(=(x_1+x_{100})\cdot50 =\)
\(=(6+ 402)\cdot50 =\)
\(=408\cdot50=20\,400\).
3) \(x_n=4n+2\)
\(S_n=\dfrac{(6+(4n+2))n}{2}=\)
\(=\dfrac{(6+4n+2)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(4n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(2n+4)n}{\cancel2}=\)
\(=(2n+4)n= 2n^2 + 4n\).
Ответ: \(S_{50}=5200\), \(S_{100}=20\,400\),
\(S_n=2n^2 + 4n\).
б) \(x_n=2n+3\) - арифметическая прогрессия.
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(x_1=2\cdot1+3=5\)
1) \(x_{50}=2\cdot50+3 = 103\)
\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50} ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)
\(=(5 + 103)\cdot25 =\)
\(=108\cdot25=2700\).
2) \(x_{100}=2\cdot100+3 =203\)
\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100} ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)
\(=(5 + 203)\cdot50 =\)
\(=208\cdot50 = 10\,400\).
3) \(x_n=2n+3\)
\(S_n=\dfrac{(5+(2n+3))n}{2}=\)
\(=\dfrac{(5+2n+3)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(2n+8)n}{2}=\dfrac{\cancel2(n+4)n}{\cancel2}=\)
\(=n(n+4)=n^2+4n\).
в) \(x_n=n-4\) - арифметическая прогрессия.
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(x_1=1-4=-3\)
1) \(x_{50}=50-4=46.\)
\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50} ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)
\(=(-3 + 46)\cdot25 =\)
\(=43\cdot25 =1075\).
2) \(x_{100}=100-4=96.\)
\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100} ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)
\(=(-3 + 96)\cdot50 =\)
\(=93\cdot50 = 4650\).
3) \(x_n=n-4\)
\(S_n=\dfrac{(-3+(n-4))n}{2}=\)
\(=\dfrac{(-3+n-4)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(n-7)n}{2}=\dfrac{n^2-7n}{2}\).
Ответ: \(S_{50}=1075\), \(S_{100}=4650\),
\(S_n=\dfrac{n^2-7n}{2}\).
г) \(x_n=3n-1\) - арифметическая прогрессия.
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(x_1=3\cdot1-1=2\).
1) \(x_{50}=3\cdot50-1=149\).
\(S_{50}=\dfrac{(x_1+x_{50})\cdot\cancel{50} ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)
\(=(2+149)\cdot25 = \)
\(=151\cdot25 =3775\).
2) \(x_{100}=3\cdot100-1=299\).
\(S_{100}=\dfrac{(x_1+x_{100})\cdot\cancel{100} ^{\color{blue}{50}} }{\cancel2}=\)
\(=(2+299)\cdot50 = \)
\(=301\cdot50 =15050\).
3) \(x_n=3n-1\)
\(S_n=\dfrac{(2+(3n-1))n}{2}=\)
\(=\dfrac{(2+3n-1)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(3n+1)n}{2} =\dfrac{3n^2+n}{2} \)
Пояснения:
Последовательность является арифметической, если её \(n\)-й член задаётся линейной формулой вида \(x_n=an+b\).
Первый член находится подстановкой \(n=1\), а \(n\)-й член берётся из формулы.
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя соответствующие значения, получаем формулы для \(S_{50}\), \(S_{100}\), \(S_n\).
Вернуться к содержанию учебника