Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.
Вспомните:
а) \(1+2+3+\ldots+150\)
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(n = 150\),
\(a_1 = 1\), \(a_{150} = 150\)
\(S_{150}=\dfrac{(1+150)\cdot\cancel{150} ^{\color{blue}{75}} }{\cancel2}=\)
\(=75\cdot151=11\,325\)
Ответ: \(S_{150}=11\,325\).
б) \(20+21+22+\ldots+120\)
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(n=120-20+1=101\),
\(a_1 = 20\), \(a_{101} = 120\)
\(S_{101}=\dfrac{(20+120)\cdot101}{2}\)
\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{70}} \cancel{140}\cdot101}{\cancel2}=70\cdot101=7070\).
Ответ: \(S_{101}=7070\).
в) \(4+8+12+\ldots+300\)
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(n=\dfrac{300}{4}=75\),
\(a_1 = 4\), \(a_{75} = 300\).
\(S_{75}=\dfrac{(4+300)\cdot75}{2}=\)
\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{152}} \cancel{304}\cdot75}{\cancel2}=152\cdot75=11\,400\).
Ответ: \(S_{75}=11\,400\).
г) \(7+14+21+\ldots+126\)
\(S_n=\dfrac{(x_1+x_n)n}{2}\)
\(7\cdot18=126 < 130\),
\(7\cdot19=133 > 130\)
\(n=18\),
\(a_1 = 7\), \(a_{18} = 126\)
\(S_{18}=\dfrac{(7+126)\cdot\cancel{18} ^{\color{blue}{9}} }{\cancel2}=\)
\(=133\cdot9=1197\)
Ответ: \(S_{18} = 1197\).
Пояснения:
Во всех пунктах суммы являются суммами арифметических прогрессий, поэтому используется формула суммы первых \(n\) членов:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
а) Натуральные числа от 1 до 150 образуют прогрессию с \(a_1=1\), \(a_{150}=150\), \(n=150\).
б) Числа от 20 до 120 также образуют арифметическую прогрессию, где \(a_1=20\), \(a_n=120\), число членов находится как разность концов плюс 1.
в) Кратные 4 числа до 300: \(4,8,12,\ldots,300\). Это прогрессия с разностью 4. Количество членов равно \(\frac{300}{4} = 75\), так как 300 — кратно 4.
г) Кратные 7 числа до 130: \(7,14,\ldots\). Последний член — наибольшее кратное 7, не превосходящее 130, это 126. Количество членов равно \(\frac{126}{7}=18\).
Вернуться к содержанию учебника