Вернуться к содержанию учебника
Найдите:
а) сумму \(2+4+6+\ldots+2n\), слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от \(2\) до \(2n\);
б) сумму \(1+3+5+\ldots+(2n-1)\), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от \(1\) до \(2n-1\).
Вспомните:
а) \(2,4,6,\ldots,2n\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).
\(a_1=2,\ a_n=2n,\)
\(n\) — число членов.
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(2+2n)n}{2}=\dfrac{\cancel2(1+n)n}{\cancel2}\)
\(=(1+n)n = n + n^2\).
Ответ: \(S_n= n + n^2\).
б) \(1,3,5,\ldots,(2n-1)\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).
\(a_1=1,\ a_n=2n-1,\)
\(n\) — число членов.
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(1+2n-1)n}{2}=\)
\(=\dfrac{\cancel2n\cdot n}{\cancel2}=n^2\).
Ответ: \(S_n=n^2\).
Пояснения:
В пункте а) рассматривается арифметическая прогрессия чётных чисел. Каждый следующий член увеличивается на \(2\), поэтому всего таких чисел от \(2\) до \(2n\) ровно \(n\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя \(a_1=2\) и \(a_n=2n\), получаем сумму \(S_n= n + n^2\).
В пункте б) рассматривается арифметическая прогрессия нечётных чисел. Первый член равен \(1\), последний равен \(2n-1\), и также всего \(n\) членов.
Подстановка в формулу суммы приводит к результату \(n^2\), что означает: сумма первых \(n\) нечётных натуральных чисел равна квадрату числа \(n\).
Вернуться к содержанию учебника