Вернуться к содержанию учебника
№1243 учебника 2023-2025 (стр. 278):
Докажите, что прямая \(y = -x + l\), где \(l\) — некоторое положительное число, и гипербола \(y = x^{-1}\):
а) имеют две общие точки, если \(l > 2\);
б) имеют одну общую точку, если \(l = 2\);
в) не имеют общих точек, если \(l < 2\).
№1243 учебника 2023-2025 (стр. 278):
Вспомните:
№1243 учебника 2023-2025 (стр. 278):
\(y = -x + l\), \(y = x^{-1} = \frac1x\)
\( -x + l = \dfrac{1}{x}\) \(/\times x\)
\( -x^{2} + lx = 1 \)
\( x^{2} - lx + 1 = 0 \)
\(a = 1\), \(b = -l\), \(c = 1\)
\( D =b^2 - 4ac= (-l)^{2} - 4\cdot1\cdot1 =\)
\(=l^2 - 4\).
1) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня, значит, две точки пересечения:
\( l^{2} - 4 > 0\)
\(|l| > 2\)
Если \(l<0\), то \(-l > 2\) и \(l<-2\) - не подходит.
Если \(l>0\), то \(l > 2\).
Что и требовалось доказать.
2) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень, значит, одну точку пересечения:
\( l^{2} - 4 = 0 \)
\( l^{2} = 4 \)
\(l = \pm2\)
\(l = 2\)
Что и требовалось доказать.
3) Если \(D < 0\), то корней нет, значит, общих точек нет:
\( l^{2} - 4 < 0 \)
\(|l| < 2 \)
Если \(l<0\), то \(-l < 2\) и \(l>-2\) - не подходит.
Если \(l>0\), то \(l < 2\).
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Уравнение \(x^{2} - lx + 1 = 0\) описывает абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы. Количество решений этого уравнения совпадает с количеством точек пересечения.
— При \(l > 2\) дискриминант положителен, и прямая пересекает гиперболу в двух точках.
— При \(l = 2\) дискриминант равен нулю — касание в одной точке.
— При \(l < 2\) дискриминант отрицателен — пересечений нет.
Вернуться к содержанию учебника