Упражнение 561 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

Дано: \(a,\ b,\ c\) — последовательные члены арифметической прогрессии.

Доказать: \(a^2+ab+b^2,\)

\(a^2+ac+c^2\) и \(b^2+bc+c^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Доказательство:

1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a,\ b,\ c\), тогда

\(d=b-a\)  и  \(d =c-b\),

\(b - a = c - b\).

2) Пусть \(x_1=a^2+ab+b^2\),

\(x_2=a^2+ac+c^2\),

\(x_3=b^2+bc+c^2\).

Докажем, что \(x_1,\ x_2,\ x_3\) — последовательные члены арифметической прогрессии, то есть

\(x_2-x_1=x_3-x_2\)

3) \(x_2-x_1=(a^2+ac+c^2)-(a^2+ab+b^2)\)

\(x_2-x_1=ac+c^2-ab-b^2\)

\(x_2-x_1=a(c-b)+(c^2-b^2)\)

\(x_2-x_1=a(c-b)+(c-b)(c+b)\)

\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c)\)

4) \(x_3-x_2=(b^2+bc+c^2)-(a^2+ac+c^2)\)

\(x_3-x_2=b^2+bc-a^2-ac\)

\(x_3-x_2=(b^2-a^2)+c(b-a)\)

\(x_3-x_2=(b-a)(b+a)+c(b-a)\)

\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c)\)

5) Так как \(b-a=c-b\), то

\((c-b)(a+b+c)=(b-a)(a+b+c)\),

то есть \(x_2-x_1=x_3-x_2\), значит, числа \(x_1,\ x_2,\ x_3\) являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Если три числа \(a,\ b,\ c\) идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны:

\[b-a=c-b.\]

Это равенство является главным свойством, которое используется в доказательстве.

Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:

\(x_2-x_1=x_3-x_2\).

Для этого разности \(x_2-x_1\) и \(x_3-x_2\) приводятся к виду «общий множитель \((a+b+c)\) умножить на разность соседних членов исходной прогрессии». Используются формулы разности квадратов:

\(c^2-b^2=(c-b)(c+b),\)

\(b^2-a^2=(b-a)(b+a).\)

В результате получается:

\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c),\)

\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c).\)

Так как \(c-b=b-a\), то обе разности равны. Значит,  \(x_1,\ x_2,\ x_3\) образуют арифметическую прогрессию и идут в ней подряд.