Упражнение 566 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

а) \(x^3+4x^2-32x=0\)

\(x(x^2+4x-32)=0\)

\(x=0\) или \(x^2+4x-32=0\)

\(D=4^2-4\cdot1\cdot(-32)=\)

\(=16+128=144 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{144}=12\).

\(x_1=\dfrac{-4+12}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4,\)

\(x_2=\dfrac{-4-12}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8\)

Ответ: \(x=0;\ 4;\ -8\).

б) \(x^3-10x^2+4x-40=0\)

\(x^2(x-10)+4(x-10)=0\)

\((x-10)(x^2+4)=0\)

или \(x-10=0, \Rightarrow x=10\)

или \(x^2+4=0, \Rightarrow x^2=-4\) - не имеет корней.

Ответ: \(x=10\)

Пояснения:

а) В уравнении можно вынести общий множитель \(x\): получаем произведение \(x(x^2+4x-32)\). Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(x=0\) или квадратный трёхчлен равен нулю.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Получаем корни \(4\) и \(-8\).

б) В уравнении удобно сгруппировать слагаемые: \((x^3-10x^2)+(4x-40)\). В каждой группе выносится общий множитель \((x-10)\), получаем

\((x-10)(x^2+4)=0\). 

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, тогда

\(x-10 = 0\) или \(x^2+4=0\).

Первый множитель даёт корень

\(x=10\). Второй множитель

\(x^2+4=0\) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.