Упражнение 565 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

\(\begin{cases} 3x+y=2,\\ x^2-y^2=-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=2-3x,\\ x^2-(2-3x)^2=-12 \end{cases}\)

\(x^2-(2-3x)^2=-12\)

\(x^2-(4-12x+9x^2)=-12\)

\(x^2-4+12x-9x^2+12=0\)

\(-8x^2+12x+8=0\)  \(/ : (-4)\)

\(2x^2-3x-2=0\)

\(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=\)

\(=9+16=25 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1=\dfrac{3+5}{2\cdot2} =\dfrac{8}{4} = 2. \)

\(x_2=\dfrac{3-5}{2\cdot2} =\dfrac{-2}{4} = -\dfrac12 = -0,5. \)

Если \(x=2\), то

\(y=2-3\cdot2=-4\).

Если \(x=-0,5\), то

\(y=2-3\cdot(-0,5)=2 + 1,5 = 3,5.\)

Ответ: \((2;\,-4)\) и \((-0,5; \, 3,5)\).

Пояснения:

Систему решаем методом подстановки. В системе одно линейное и одно квадратное уравнение. Удобно выразить одну переменную из линейного уравнения и подставить её во второе.

После подстановки получается квадратное уравнение относительно одной переменной \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Для каждого найденного значения \(x\) подставляем его в выражение для \(y\), чтобы получить соответствующую пару \((x,y)\).

В результате система имеет два решения.