Упражнение 564 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника:

\(S_n=(n-2)\cdot180^\circ\)

Последовательность сумм для

\(n=3,4,5,\ldots\):

\(S_3=(3-2)\cdot180^\circ=180^\circ\)

\(S_4=(4-2)\cdot180^\circ=360^\circ\)

\(S_5=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ\)

Разность соседних членов:

\(S_{n+1}-S_n=((n+1)-2)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)

\(S_{n+1}-S_n=(n-1)\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ\)

\(S_{n+1}-S_n=180^\circ\)

Следовательно, \(S_n\) образует арифметическую прогрессию с разностью \(d=180^\circ\).

Пояснения:

Используем известный факт из геометрии: выпуклый \(n\)-угольник можно разбить диагоналями из одной вершины на \(n-2\) треугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника равна \(180^\circ\).

Поэтому сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника равна сумме углов \(n-2\) треугольников:

\[S_n=(n-2)\cdot180^\circ.\]

Когда число сторон увеличивается на 1 (переходим от \(n\)-угольника к \((n+1)\)-угольнику), число треугольников в разбиении увеличивается на 1, значит сумма внутренних углов увеличивается на \(180^\circ\).

Это означает, что разность между соседними членами последовательности \(S_{n+1}-S_n\) постоянна и равна \(180^\circ\). Следовательно, последовательность сумм внутренних углов является арифметической прогрессией, а её разность равна \(180^\circ\).