Упражнение 563 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

а) \(a_n=3n+1\)

\(a_{n+1}-a_n=\)

\(=(3(n+1)+1)-(3n+1)=\)

\(=\cancel{3n}+3+\cancel1-\cancel{3n}-\cancel1=3\)

\(a_n\) - является арифметической прогрессией.

б) \(a_n=n^2-5\)

\(a_{n+1}-a_n=\)

\(=((n+1)^2-5)-(n^2-5)=\)

\(=\cancel{n^2}+2n+1-\cancel5-\cancel{n^2}+\cancel5=\)

\(=2n+1\) - зависит от \(n\).

\(a_n\) -  не является арифметической прогрессией.

в) \(a_n=n+4\)

\(a_{n+1}-a_n=\)

\(=((n+1)+4)-(n+4)=\)

\(=\cancel n + 1 + \cancel4 - \cancel n -\cancel 4 =1\).

\(a_n\) - является арифметической прогрессией.

г) \(a_n=\dfrac{1}{n+4}\)

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+5} ^{\color{blue}{\backslash n+4}} -\dfrac{1}{n+4} ^{\color{blue}{\backslash n+5}} =\)

\(=\dfrac{(n + 4) - (n + 5)}{(n+5)(n + 4)}=\)

\(=\dfrac{\cancel n + 4 - \cancel n + 5}{(n+5)(n + 4)}=\)

\(=\dfrac{9}{(n+5)(n + 4)}\) - зависит от \(n\).

\(a_n\) -  не является арифметической прогрессией.

д) \(a_n=-0{,}5n+1\)

\(a_{n+1}-a_n=\)

\(=(-0{,}5(n+1)+1)-(-0{,}5n+1)=\)

\(=-\cancel{0{,}5n}-0,5+\cancel1+\cancel{0{,}5n}-\cancel1=-0{,}5.\)

\(a_n\) - является арифметической прогрессией.

е) \(a_n=6n^2\)

\(a_{n+1}-a_n=6(n+1)^2-6n^2=\)

\(=6(n^2 + 2n + 1) -6n^2=\)

\(=\cancel{6n^2} + 12n + 6 - \cancel{6n^2}=\)

\(=12n+6\) - зависит от \(n\).

\(a_n\) -  не является арифметической прогрессией.

Пояснения:

Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда разность двух соседних членов постоянна и не зависит от номера \(n\).

а), в), д) — линейные формулы вида \(a_n=an+b\). Для них разность \(a_{n+1}-a_n\) равна числу \(a\), поэтому такие последовательности всегда являются арифметическими.

б) и е) — формулы, содержащие квадрат \(n\). В этом случае разность соседних членов зависит от \(n\), поэтому последовательность не является арифметической.

г) — дробно-рациональная формула. Разность соседних членов меняется при изменении \(n\), следовательно, арифметической прогрессией такая последовательность не является.