Упражнение 562 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

Дано: \(a^2,\ b^2,\ c^2\) — последовательные члены арифметической прогрессии.

Доказать: \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Доказательство:

1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a^2,\ b^2,\ c^2\), тогда

\(b^2-a^2=c^2-b^2 = d\).

2) \(\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash b+c}} -\dfrac{1}{b+c} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} =\)

\(=\dfrac{(b+c)-(a+c)}{(a+c)(b+c)}=\)

\(=\dfrac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\)

\(=\dfrac{b-a}{(a+c)(b+c)} ^{\color{blue}{\backslash b+a}} =\)

\(=\dfrac{(b-a)(b+a)}{(a+c)(b+c)(b+a)} =\)

\(=\dfrac{b^2-a^2}{(a+c)(b+c)(b+a)}=\)

\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)

3) \(\dfrac{1}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} -\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash a+b}} =\)

\(=\dfrac{(a+c)-(a+b)}{(a+b)(a+c)}=\)

\(=\dfrac{a+c-a+b}{(a+b)(a+c)}=\)

\(=\dfrac{c-b}{(a+b)(a+c)} ^{\color{blue}{\backslash c+b}}= \)

\(=\dfrac{(c-b)(c + b)}{(a+b)(a+c)(c + b)}= \)

\(=\dfrac{c^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}= \)

\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)

4) Получаем:

\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\)

Следовательно, \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Если три числа идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны. Для квадратов это означает:

\[b^2-a^2=c^2-b^2.\]

Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:

\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\).